Τα μαθηματικά και η γεωμετρία από την αρχή της ανθρωπότητας έχουν αποτελέσει πολύ χρήσιμα και καθοριστικά εργαλεία στην διαδικασία της αποκρυπτογράφησης του κόσμου γύρω μας. Οι συγκεκριμένες επιστήμες χαρακτηρίζονται από πολλούς ως η γλώσσα του σύμπαντος και όχι άδικα: από τα πιο απλά παραδείγματα των οργανισμών να χειρίζονται αριθμούς και απλές μαθηματικές διαδικασίες, μέχρι και τα σύνθετα γεωμετρικά μοτίβα και συναρτήσεις που συναντώνται σε ζώα και φυτά, η φύση είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με μαθηματικές έννοιες.
Το εντυπωσιακό της σύνδεσης των μαθηματικών σαν επιστήμη και του περιβάλλοντος είναι ότι φαινομενικά απλές διαδικασίες, όπως είναι η μέτρηση αποστάσεων και διαχωρισμός του χώρου, μπορεί να καταλήξουν σε αδιέξοδα και παράδοξα. Ξεκινώντας από τις δισδιάστατες μαθηματικές πράξεις στο χαρτί και καταλήγοντας στον τρισδιάστατο κόσμο γύρω μας, υπάρχουν πολλές αποκλίσεις και ασάφειες. Όμως και στις πιο ακραίες εξαιρέσεις υπάρχει κάποιο αντίστοιχα ακραίο και φιλοσοφημένο μαθηματικό μοντέλο που θα βοηθήσει στην κατανόηση και αποκρυπτογράφηση του φαινομένου. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί το Παράδοξο των Ακτογραμμών.
Το συγκεκριμένο παράδοξο παρατηρήθηκε για πρώτη φορά σαν μορφή φαινομένου από τον Άγγλο μαθηματικό Lewis Fry Richardson στην προσπάθεια του να εξηγήσει την απόκλιση των μετρήσεων των κοινών συνόρων της Ισπανίας και της Πορτογαλίας. Το πρόβλημα έχει ως εξής: Έστω ότι οι γεωγράφοι και οι χαρτογράφοι επιχειρούν να μετρήσουν την ακτογραμμή της Μεγάλης Βρετανίας για επιστημονικούς και πληροφοριακούς σκοπούς. Φυσικά, όπως είναι προφανές, οι ακτογραμμές δεν είναι ευθείες γραμμές. Όσο οι επιστήμονες μεγεθύνουν την εικόνα μιας γραμμής που φαίνεται ευθεία, παρατηρούν πως αποτελείται από αμέτρητες καμπύλες και στροφές. Μάλιστα, όσο και να προσπαθεί κάποιος να μετρήσει μια ακτή με περισσότερη ακρίβεια, ποτέ δεν θα συναντήσει ευθείες γραμμές, ώστε να γίνει πιο εύκολη η διαδικασία. Αυτό οδήγησε τους επιστήμονες στο να χρησιμοποιούν την μικρότερη μονάδα μέτρησης απόστασης που αρμόζει σε κάθε ακτογραμμή, ώστε να έχουν μια προσεγγιστική εικόνα. Για παράδειγμα, αν μετρηθεί η ακτογραμμή της Μεγάλης Βρετανίας σε μονάδες των 100 χιλιομέτρων, ο συνολικός αριθμός είναι 2800 χιλιόμετρα, ενώ αν χρησιμοποιηθούν μονάδες των 50 χιλιομέτρων προκύπτει 3400 χιλιόμετρα. Γενικώς, το συμπέρασμα είναι πως όσο μικρότερη η μονάδα που χρησιμοποιείται στη μέθοδο μέτρησης τόσο μεγαλύτερο θα είναι το συνολικό αποτέλεσμα. Γι’ αυτό το λόγο δεν μπορούν να υπάρξουν οι πραγματικές τιμές των ακτογραμμών των χωρών ανά τον κόσμο, αλλά μόνο προσεγγιστικές τιμές. Θεωρητικά, θα μπορούσε κανείς να εμβαθύνει σε μοριακό επίπεδο και να μετρήσει τις ευθείες που ενώνουν τα μόρια των ακτών, με σκοπό τον υπολογισμό της ακριβέστερης τιμής που μπορεί να υπάρξει. Το εντυπωσιακό με αυτό το εγκεφαλικό πείραμα είναι ότι, αν επιχειρήσει κανείς να υπολογίσει τις αποστάσεις των μορίων, το αποτέλεσμα που θα προκύψει προσεγγίζει το άπειρο. Είναι καθηλωτικό το πως το άπειρο, μία έννοια τόσο εξωπραγματική και μακρινή, παρατηρείται σε κάτι τόσο ανθρώπινο και γήινο όπως οι καμπύλες μιας παραλίας στη Μεγάλη Βρετανία.
Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω όμως, πάντα θα υπάρχει το κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο για να εξηγήσει μερικώς αυτό το παράδοξο. Στη γεωμετρία υπάρχουν κάποια γεωμετρικά σχήματα που επαναλαμβάνονται αυτούσια και ονομάζονται φράκταλ. Το χαρακτηριστικό τους είναι, λοιπόν, πως όσο μεγεθύνει κανείς στην εικόνα ενός φράκταλ, θα παρατηρήσει επαναλαμβανόμενα, αυτό-όμοια μοτίβα σχημάτων απλώς σε διαφορετικές κλίμακες, τα οποία προκύπτουν με την επανάληψη μίας οποιαδήποτε απλής μαθηματικής διαδικασίας. Είναι σχήματα που περικλείουν μετρήσιμο εμβαδόν, αλλά έχουν προσεγγιστικά άπειρη περίμετρο. Μπορεί ο καθένας να φέρει μια εικόνα ενός τέτοιου σχήματος στο μυαλό του αν απλώς φανταστεί μια χιονονιφάδα, με μικρές διακλαδώσεις πάγου που εκτείνονται όμοια σε διαφορετικές κατευθύνσεις, Κάθε χιονονιφάδα είναι διαφορετική, αλλά ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο παρατηρείται στην κάθεμια. Τέτοια παρόμοια παραδείγματα υπάρχουν παντού στη Γη, όπως στις διακλαδώσεις των δέντρων και των ποταμών, στα σχήματα των σύννεφων, σε διάφορα άνθη, στο σχηματισμό των βουνών και φυσικά στις ακτογραμμές.
Το συγκεκριμένο φαινόμενο, λοιπόν, της μέτρησης μίας ακτογραμμής, που η ανθρωπότητα αδυνατεί να ερμηνεύσει με τη χρήση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, υπέστη επεξεργασία με βάση τα φράκταλ και των ιδιοτήτων τους. Είναι ένα θεωρητικά και προσεγγιστικά λυμένο πρόβλημα, που μας δείχνει πόσο κοντά στη καθημερινότητα μας είναι τα μαθηματικά και η γεωμετρία. Αυτό που με συναρπάζει προσωπικά περισσότερο σε αυτή την σύνδεση είναι το πως περίπλοκα και απειροστικά μαθηματικά συστήματα που προκύπτουν μετά από αιώνες αναζήτησης και θεωρητικής εργασίας στους διάφορους κλάδους των επιστημών, βρίσκονταν από την πρώτη στιγμή στα φυτά, στη γη και στα βουνά πρακτικά κάτω από τη μύτη μας.